度量空间

度量空间

度量空间的定义

度量空间

一个度量空间（metric space）是一个集合 $X$，并有度量（距离函数）$d:X\times X\to \mathbb{R}$，使得对于任意 $x,y,z\in X$，满足以下性质：

1. 正定性：$d(x,y)⩾0$，且 $d(x,y)=0$ 当且仅当 $x=y$；
2. 对称性：$d(x,y)=d(y,x)$；
3. 三角不等式：$d(x,y)⩽d(x,z)+d(z,y)$。

度量空间的定义是非常自然的，因为它提取了欧式空间中的距离概念的基本性质：距离大于等于 $0$，两点距离的对称性以及三角不等式，从而抽象为一个更一般的概念。

度量空间的例子

$l_p$-空间

令 $p⩾1$，$l_p$-空间中的每个元素是一个数列 $x=(x_1,x_2,\dots )$，满足 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^p<\mathrm{\infty }$。定义 $l_p$-空间上的度量为：

$$d(x,y)={(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i-y_i{|}^p)}^{1/p}$$

证明 $l_p$-空间是一个度量空间。

在给出证明之前，我们先说明这一度量空间的重要性。事实上，当 $p=2$ 时，这一空间称为希尔伯特序列空间 $l_2$，这一空间时希尔伯特于 1912 年引入并加以研究的，当时主要是根据积分方程的研究需要提出的，现在看来是所谓希尔伯特空间的最早的例子（希尔伯特空间之后会详细研究）。下面我们开始证明：

$l_p$-空间是度量空间的证明

正定性和对称性显然，接下来我们分为如下四步证明三角不等式：

1. 回忆 Jensen 不等式：对于凸函数 $f$，有 $f(\theta a+(1-\theta )b)⩽\theta f(a)+(1-\theta )f(b)$，其中 $a,b\in \mathbb{R}$ 且 $0⩽\theta ⩽1$，凹函数将不等号反向即可。

2. 证明 Hölder 不等式：对于任意 $p,q>1$ 且 ${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}=1$，有

   $$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{y}_i|⩽{\left(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|y_i{|}^q\right)}^{1/q}$$

   根据 $\ln$ 函数的凹性以及 Jensen 不等式，不难得到 $a^{\theta }{b}^{1-\theta }⩽\theta a+(1-\theta )b$，其中 $a,b⩾0$ 且 $0⩽\theta ⩽1$。取

   $$a={\displaystyle \frac{|x_i{|}^p}{\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|x_j{|}^p}},b={\displaystyle \frac{|y_i{|}^q}{\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|y_j{|}^q}},\theta ={\displaystyle \frac{1}{p}}$$

   即可得到

   $${\left({\displaystyle \frac{|x_i{|}^p}{\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|x_j{|}^p}}\right)}^{1/p}{\left({\displaystyle \frac{|y_i{|}^q}{\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|y_j{|}^q}}\right)}^{1/q}⩽{\displaystyle \frac{|x_i{|}^p}{p\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|x_j{|}^p}}+{\displaystyle \frac{|y_i{|}^p}{q\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|y_j{|}^q}}$$

   根据级数收敛性，两边对 $i$ 求和即可得到 Hölder 不等式。事实上，当 $p=q=2$ 时，Hölder 不等式即为著名的 Cauchy-Schwarz 不等式。可以验证，Hölder 不等式的等号成立（通过上面的推导，实际上就是 Jensen 不等式等号成立，故 $a=b$）当且仅当至少一个数列为 $0$ 数列或 $|x_i{|}^p=c|y_i{|}^q$，其中 $c>0$，$i=1,2,\dots$。

3. 证明 Minkowski 不等式：对于任意 $p⩾1$，有

   $${(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i+y_i{|}^p)}^{1/p}⩽{\left(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^p\right)}^{1/p}+{\left(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|y_i{|}^p\right)}^{1/p}$$

   当 $p=1$ 时，根据绝对值的三角不等式可知 Minkowski 不等式成立。当 $p>1$ 时，为简化记号，记 $z_i=x_i+y_i$，则根据绝对值的三角不等式有

   $$|z_i{|}^p=|x_i+y_i||z_i{|}^{p-1}⩽|x_i||z_i{|}^{p-1}+|y_i||z_i{|}^{p-1}$$

   两边对 $i$ 从 $1$ 到某个固定的 $n$ 求和有

   $$\sum _{i=1}^n|z_i{|}^p⩽\sum _{i=1}^n|x_i||z_i{|}^{p-1}+\sum _{i=1}^n|y_i||z_i{|}^{p-1}$$

   对于上式右端第一个求和，根据 Hölder 不等式有

   $$\sum _{i=1}^n|x_i||z_i{|}^{p-1}⩽{\left(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{i=1}^n|z_i{|}^{(p-1)q}\right)}^{1/q}$$

   因为 ${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}=1$，所以 $(p-1)q=p$，因此上式右端第一个求和满足

   $$\sum _{i=1}^n|x_i||z_i{|}^{p-1}⩽{\left(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{i=1}^n|z_i{|}^p\right)}^{1/q}$$

   同理，对于上式右端第二个求和，有

   $$\sum _{i=1}^n|y_i||z_i{|}^{p-1}⩽{\left(\sum _{i=1}^n|y_i{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{i=1}^n|z_i{|}^p\right)}^{1/q}$$

   将上述两式代入原式可得 $n<+\mathrm{\infty }$ 时的 Minkowski 不等式。令 $n\to \mathrm{\infty }$，不等式右端极限存在，因此根据正项级数性质可知左端极限也存在，由此即可得到 Minkowski 不等式。

4. 证明三角不等式

   $$\begin{array}{rl}d(x,y)& ={(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i-y_i{|}^p)}^{1/p}\\ & ={(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i-z_i+z_i-y_i{|}^p)}^{1/p}\\ & ⩽{(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i-z_i{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|z_i-y_i{|}^p)}^{1/p}\\ & =d(x,z)+d(z,y)\end{array}$$

事实上上面的证明对于有限维空间 ${\mathbb{R}}^n$ 也是成立的，即对空间中元素不是数列而是 $n$ 元向量的情况也是成立的。需要注意的是，证明过程中得到的 Hölder 不等式和 Minkowski 不等式是非常重要的不等式，它们有广泛的应用。