度量空间¶
度量空间¶
度量空间的定义¶
度量空间
一个度量空间（metric space）是一个集合 \(X\)，并有度量（距离函数）\(d:X\times X\to \mathbb{R}\)，使得对于任意 \(x, y, z \in X\)，满足以下性质：
- 正定性：\(d(x,y) \geqslant 0\)，且 \(d(x,y) = 0\) 当且仅当 \(x = y\)；
- 对称性：\(d(x,y) = d(y,x)\)；
- 三角不等式：\(d(x,y) \leqslant d(x,z) + d(z,y)\)。
度量空间的定义是非常自然的，因为它提取了欧式空间中的距离概念的基本性质：距离大于等于 \(0\)，两点距离的对称性以及三角不等式，从而抽象为一个更一般的概念。
度量空间的例子¶
\(l_p\)-空间
令 \(p \geqslant 1\)，\(l_p\)-空间中的每个元素是一个数列 \(x = (x_1, x_2, \ldots)\)，满足 \(\sum\limits_{i=1}^\infty |x_i|^p < \infty\)。定义 \(l_p\)-空间上的度量为：
证明 \(l_p\)-空间是一个度量空间。
在给出证明之前，我们先说明这一度量空间的重要性。事实上，当 \(p = 2\) 时，这一空间称为希尔伯特序列空间 \(l_2\)，这一空间时希尔伯特于 1912 年引入并加以研究的，当时主要是根据积分方程的研究需要提出的，现在看来是所谓希尔伯特空间的最早的例子（希尔伯特空间之后会详细研究）。下面我们开始证明：
\(l_p\)-空间是度量空间的证明
正定性和对称性显然，接下来我们分为如下四步证明三角不等式：
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回忆 Jensen 不等式：对于凸函数 \(f\)，有 \(f(\theta a + (1-\theta) b) \leqslant \theta f(a) + (1-\theta) f(b)\)，其中 \(a, b \in \mathbb{R}\) 且 \(0 \leqslant \theta \leqslant 1\)，凹函数将不等号反向即可。
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证明 Hölder 不等式：对于任意 \(p, q > 1\) 且 \(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1\)，有
\[ \sum\limits_{i=1}^\infty |x_i y_i| \leqslant \left( \sum\limits_{i=1}^\infty |x_i|^p \right)^{1/p} \left( \sum\limits_{i=1}^\infty |y_i|^q \right)^{1/q} \]根据 \(\ln\) 函数的凹性以及 Jensen 不等式，不难得到 \(a^\theta b^{1-\theta} \leqslant \theta a + (1-\theta) b\)，其中 \(a, b \geqslant 0\) 且 \(0 \leqslant \theta \leqslant 1\)。取
\[ a = \dfrac{|x_i|^p}{\sum\limits_{j=1}^\infty |x_j|^p}, \quad b = \dfrac{|y_i|^q}{\sum\limits_{j=1}^\infty |y_j|^q}, \quad \theta = \dfrac{1}{p} \]即可得到
\[ \left( \dfrac{|x_i|^p}{\sum\limits_{j=1}^\infty |x_j|^p} \right)^{1/p} \left( \dfrac{|y_i|^q}{\sum\limits_{j=1}^\infty |y_j|^q} \right)^{1/q} \leqslant \dfrac{|x_i|^p}{p \sum\limits_{j=1}^\infty |x_j|^p} + \dfrac{|y_i|^p}{q \sum\limits_{j=1}^\infty |y_j|^q} \]根据级数收敛性，两边对 \(i\) 求和即可得到 Hölder 不等式。事实上，当 \(p = q = 2\) 时，Hölder 不等式即为著名的 Cauchy-Schwarz 不等式。可以验证，Hölder 不等式的等号成立（通过上面的推导，实际上就是 Jensen 不等式等号成立，故 \(a = b\)）当且仅当至少一个数列为 \(0\) 数列或 \(|x_i|^p = c |y_i|^q\)，其中 \(c > 0\)，\(i = 1, 2, \ldots\)。
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证明 Minkowski 不等式：对于任意 \(p \geqslant 1\)，有
\[ \left( \sum\limits_{i=1}^\infty |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \leqslant \left( \sum\limits_{i=1}^\infty |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{i=1}^\infty |y_i|^p \right)^{1/p} \]当 \(p = 1\) 时，根据绝对值的三角不等式可知 Minkowski 不等式成立。当 \(p > 1\) 时，为简化记号，记 \(z_i = x_i + y_i\)，则根据绝对值的三角不等式有
\[|z_i|^p = |x_i + y_i||z_i|^{p-1} \leqslant |x_i||z_i|^{p-1} + |y_i||z_i|^{p-1}\]两边对 \(i\) 从 \(1\) 到某个固定的 \(n\) 求和有
\[\sum\limits_{i=1}^n |z_i|^p \leqslant \sum\limits_{i=1}^n |x_i||z_i|^{p-1} + \sum\limits_{i=1}^n |y_i||z_i|^{p-1}\]对于上式右端第一个求和，根据 Hölder 不等式有
\[\sum\limits_{i=1}^n |x_i||z_i|^{p-1} \leqslant \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \left( \sum\limits_{i=1}^n |z_i|^{(p-1)q} \right)^{1/q}\]因为 \(\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1\)，所以 \((p-1)q = p\)，因此上式右端第一个求和满足
\[\sum\limits_{i=1}^n |x_i||z_i|^{p-1} \leqslant \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \left( \sum\limits_{i=1}^n |z_i|^p \right)^{1/q}\]同理，对于上式右端第二个求和，有
\[\sum\limits_{i=1}^n |y_i||z_i|^{p-1} \leqslant \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{1/p} \left( \sum\limits_{i=1}^n |z_i|^p \right)^{1/q}\]将上述两式代入原式可得 \(n < +\infty\) 时的 Minkowski 不等式。令 \(n \to \infty\)，不等式右端极限存在，因此根据正项级数性质可知左端极限也存在，由此即可得到 Minkowski 不等式。
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证明三角不等式
\[\begin{aligned} d(x, y) &= \left( \sum\limits_{i=1}^\infty |x_i - y_i|^p \right)^{1/p} \\ &= \left( \sum\limits_{i=1}^\infty |x_i - z_i + z_i - y_i|^p \right)^{1/p} \\ &\leqslant \left( \sum\limits_{i=1}^\infty |x_i - z_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{i=1}^\infty |z_i - y_i|^p \right)^{1/p} \\ &= d(x, z) + d(z, y) \end{aligned}\]
事实上上面的证明对于有限维空间 \(\mathbb{R}^n\) 也是成立的，即对空间中元素不是数列而是 \(n\) 元向量的情况也是成立的。需要注意的是，证明过程中得到的 Hölder 不等式和 Minkowski 不等式是非常重要的不等式，它们有广泛的应用。